二进制如何表达整数
2025-05-06 04:44:32
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二进制表示整数的方法涉及数制转换、编码方式及位权计算，具体如下：
一、二进制基础
数制定义
二进制采用0和1两个数码，遵循逢二进一规则。例如，十进制数123转换为二进制为`01111011`，计算过程为：
$$123 = 1 times 2^6 + 1 times 2^5 + 1 times 2^3 + 1 times 2^0 = 01111011_2$$
位权与符号位
- 符号位：
最高位为符号位，0表示正数，1表示负数。
- 位权：从右往左依次为$2^0, 2^1, 2^2, dots$，例如第3位表示$2^2=4$。
二、整数编码方式
原码
直接将十进制数转换为二进制，符号位单独表示。例如：
- $+123$：`0000111011`
- $-123$：`1000111011`
反码
正数反码与原码相同，负数反码为原码除符号位外按位取反。例如：
- $-123$：`1111000101`（原码`1000111011`反码）
补码
负数补码为反码加1。例如：
- $-123$：`1111001000`（反码`1111000101`加1）
补码的优点是简化计算机运算，避免符号位参与运算。
三、二进制表示范围
n位有符号整数：
表示范围为$-2^{n-1}$到$2^{n-1}-1$。例如：
8位：$-128$到$127$
16位：$-32768$到$32767$
四、示例总结
| 十进制 | 二进制（8位） | 符号位 | 原码 | 反码 | 补码 |
|--------|----------------|--------|------------|------------|------------|
| 123| 01111011 | 0 | 01111011 | 01111011 | 01111011 |
| -123 | 1000111011 | 1 | 1000111011 | 1111000101 | 1111001000 |
五、扩展说明
无符号数：仅表示非负数，例如8位无符号数范围为0到255。
浮点数：采用科学计数法表示，如32位float包含1位符号位、23位尾数和8位指数。
通过以上方法，二进制可高效表示整数，并为计算机运算提供基础。
