多项式怎么对应二进制
2025-05-08 14:49:56
许老师
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多项式与二进制数的对应关系可通过以下步骤和规则进行转换：
一、基本对应规则
幂次与二进制位对应
多项式中$x$的幂次从高到低依次对应二进制数的位权，即：
$$
x^R rightarrow text{最高位（二进制）}
x^{R-1} rightarrow text{次高位}
vdots
x^0 rightarrow text{最低位（二进制）}
$$
例如，$x^4 + x^3 + x + 1$对应二进制数`11011`（最高次项$x^4$对应1，其余项为0）。
系数表示
- 若多项式某幂次存在（即系数为1），则对应二进制位为1；
- 若不存在（系数为0），则对应二进制位为0。 例如，$x^5 + x^4 + x + 1$对应二进制`1011001`（最高次项$x^5$为1，其余为0）。
二、具体转换步骤
确定最高幂次
记录多项式中最高次幂$R$，则二进制位数需为$R+1$位。
将生成多项式转换为二进制
例如生成多项式$G（x）=x^4+x^3+x+1$，转换为二进制为`11011`（4次对应4位，最低次为0位）。
左移信息多项式
将信息多项式$C（x）$左移$R$位，为校验码预留空间。例如信息多项式$x^3+x^2+x+1$左移3位后变为$10100000000$（二进制）。
模2除法（异或运算）
用左移后的信息多项式除以生成多项式对应的二进制数，取余数作为校验码。例如：
$$
10100000000 , (text{信息多项式左移3位}) oplus 11011 , (text{生成多项式}) = 1010 , (text{余数})
$$
余数长度为$R$位（如4次生成多项式对应3位余数）。
拼接完整码字
将余数拼接到信息码左移后的空位，形成完整码字。例如信息码`1011`对应的CRC-3码为`1011010`（假设生成多项式为$x^3+x+1$）。
三、注意事项
生成多项式：
需提前约定（如$x^4+x^3+1$对应`11011`），传输过程中保持不变。
符号处理：二进制转换仅适用于无符号多项式，含符号多项式需先转换为无符号形式。
位数匹配：确保生成多项式的位数与信息位匹配（如4次多项式对应3位校验码）。
通过上述步骤，可将任意多项式准确转换为二进制表示，适用于数据编码、校验等场景。
