奥数盈亏问题为什么公式
2025-05-11 18:31:50
冯老师
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奥数盈亏问题的公式主要基于分配问题的数学模型，通过分析两次分配的差异来求解未知数。以下是公式的推导思路和核心公式：
一、基本公式推导
一次盈一次亏的情况
设总人数为 $n$，物品总数为 $S$，两次分配的差异为 $d$（如每人分 $a$ 个盈，分 $b$ 个亏），则：
$$
S = an - 9 quad text{和} quad S = bn + 7
$$
联立两式得：
$$
an - 9 = bn + 7 implies (a - b)n = 16 implies n = frac{16}{a - b}
$$
即： 总人数 = （盈 + 亏） ÷ 分配差
两次都盈的情况
设两次分配的盈额分别为 $A$ 和 $B$，则：
$$
S = am + A quad text{和} quad S = bm + B
$$
联立两式得：
$$
am + A = bm + B implies (a - b)m = B - A implies m = frac{B - A}{a - b}
$$
即： 总人数 = （大盈 - 小盈） ÷ 分配差
两次都亏的情况
设两次分配的亏额分别为 $C$ 和 $D$，则：
$$
S = cm - C quad text{和} quad S = dm - D
$$
联立两式得：
$$
cm - C = dm - D implies (c - d)m = C - D implies m = frac{C - D}{c - d}
$$
即： 总人数 = （大亏 - 小亏） ÷ 分配差
二、公式应用示例
例题：
幼儿园分糖果，每人5个多22个，每人7个少18个，求人数和糖果数。
分配差：$7 - 5 = 2$
总差额：$22 + 18 = 40$
人数：$40 ÷ 2 = 20$
糖果数：$5 times 20 + 22 = 122$
三、核心要点
确定分配差：
即两次分配中每份的差异（如每人分得数的差）。
计算总差额：
根据盈亏情况求和（如一次盈一次亏时为盈+亏）。
灵活运用公式：
根据盈亏类型选择对应公式。
通过以上方法，可以系统解决奥数中的盈亏问题，关键在于准确识别分配类型并计算差额。
