数学抛物线的通径是多少
2025-05-12 18:35:52
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抛物线的通径是指过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦。其长度为 2p，其中 p是抛物线标准方程中焦准距的一半。以下是详细说明：
一、通径的定义与几何意义
定义 ：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线的交点连线称为通径。几何意义：
通径的长度等于抛物线的焦准距 2p，这也是抛物线标准方程 $y^2 = 4px$ 中参数 p的几何意义。
二、通径的长度计算
标准方程形式：
抛物线标准方程为 $y^2 = 4px$（开口向右），焦点为 $（p/2, 0）$，准线为 $x = -p/2$。
计算过程
- 将 $x = p/2$ 代入抛物线方程，得到 $y^2 = 4p cdot （p/2） = 2p^2$，解得 $y = pm p$。
- 因此，通径的两个端点为 $（p/2, p）$ 和 $（p/2, -p）$，长度为 $|p - （-p）| = 2p$。
三、相关性质补充
离心率：
抛物线的离心率 $e = 1$。
焦准距：
抛物线的焦准距为 $2p$。
应用：
通径常用于简化抛物线相关计算，例如求抛物线上某点到焦点的距离。
四、注意事项
通径是抛物线的特殊弦，仅与焦点和对称轴相关，与抛物线的开口方向无关。
对于其他圆锥曲线（如椭圆、双曲线），通径的定义和计算方法不同，需注意区分。
综上，抛物线的通径长度为 2p，这一结论由抛物线的定义和几何性质共同决定。
