多少士兵数学题
2025-05-13 14:10:52
教海导航
已认证
已认证教海导航为您分享以下优质知识
关于“韩信点兵”问题的数学解答如下：
一、核心问题
求满足以下条件的最小正整数 $x$：
1. $x equiv 2 pmod{3}$（每3人一列余2人）
2. $x equiv 3 pmod{5}$（每5人一列余3人）
3. $x equiv 4 pmod{7}$（每7人一列余4人）
二、解法分析
同余方程组
该问题可转化为求解同余方程组：
$$
begin{cases}
x equiv 2 pmod{3}
x equiv 3 pmod{5}
x equiv 4 pmod{7}
end{cases}
$$
这是典型的中国剩余定理应用场景。
逐步求解
- 首先，考虑 $x equiv 2 pmod{3}$ 和 $x equiv 3 pmod{5}$，设 $x = 3k + 2$，代入第二个同余式得：
$$
3k + 2 equiv 3 pmod{5} Rightarrow 3k equiv 1 pmod{5}
$$
通过试算或扩展欧几里得算法，可得 $k equiv 2 pmod{5}$，即 $k = 5m + 2$。代回得 $x = 15m + 8$。
- 接着，将 $x = 15m + 8$ 代入 $x equiv 4 pmod{7}$：
$$
15m + 8 equiv 4 pmod{7} Rightarrow m equiv 6 pmod{7}
$$
即 $m = 7n + 6$，最终得到 $x = 105n + 83$。
最小正整数解
当 $n = 0$ 时，$x = 83$。但根据题意，需满足 $x equiv 1 pmod{3}$、$x equiv 2 pmod{5}$、$x equiv 4 pmod{7}$，故最小正整数解为 53（即 $83 - 30 = 53$）。
三、结论
韩信点兵问题通过中国剩余定理可高效求解，其最小正整数解为 53。该问题在古代数学文献中已有记载，如明朝程大位的《算法统宗》中亦有相关口诀。
