数学点线距离是多少
2025-05-14 07:41:24
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数学中点到直线的距离公式为：
$$
d = frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{sqrt{A^2 + B^2}}
$$
其中，
$A$、$B$、$C$ 是直线方程 $Ax + By + C = 0$ 的系数，
$（x_0, y_0）$ 是点的坐标。
公式推导与说明
垂线段最短原理
通过计算点向直线的垂线段长度得到距离，该垂足是点在直线上的投影。
公式应用场景
- 一般直线：
适用于任意直线方程 $Ax + By + C = 0$（包括斜截式 $y = mx + b$ 转换后）。 - 特殊情况：当直线平行于坐标轴时（如 $y = a$ 或 $x = b$），距离可直接计算为 $|x_0 - a|$ 或 $|y_0 - b|$。
空间扩展
若考虑三维空间中点到直线的距离，公式为：
$$
d = frac{|vec{PQ} cdot vec{n}|}{|vec{n}|}
$$
其中 $vec{PQ}$ 是点 $P$ 到直线上任意点 $Q$ 的向量，$vec{n}$ 是直线的法向量。
示例
计算点 $P（1, 2）$ 到直线 $2x + 3y - 6 = 0$ 的距离：
$$
d = frac{|2 cdot 1 + 3 cdot 2 - 6|}{sqrt{2^2 + 3^2}} = frac{0}{sqrt{13}} = 0
$$
说明点在直线上。
