指数分布数学期望是多少
2025-05-17 09:26:24
孙老师
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指数分布的数学期望为 $frac{1}{lambda}$，其中 $lambda$ 是分布的参数。以下是详细说明：
一、数学期望的计算
指数分布的概率密度函数为：
$$f(x) = lambda e^{-lambda x}, quad x geq 0$$
数学期望 $E（X）$ 的计算公式为：
$$E(X) = int_{0}^{infty} x cdot f(x) , dx = int_{0}^{infty} x cdot lambda e^{-lambda x} , dx$$
通过分部积分法：
设 $u = x$，$dv = lambda e^{-lambda x} dx$，则 $du = dx$，$v = -e^{-lambda x}$。
计算过程：
$$
begin{aligned}
E(X) &= left[ -x e^{-lambda x} right]_{0}^{infty} + int_{0}^{infty} e^{-lambda x} , dx
&= left[ 0 - 0 right] + left[ -frac{1}{lambda} e^{-lambda x} right]_{0}^{infty}
&= 0 + frac{1}{lambda}
&= frac{1}{lambda}
end{aligned}
$$
二、参数说明
当参数为 $lambda$ 时，数学期望为 $frac{1}{lambda}$；
若参数为 $frac{1}{lambda}$，则数学期望为 $lambda$。
三、相关性质
指数分布具有无记忆性（遗失记忆性），即：
$$P(X >
s + t mid X >
s) = P(X >
t)$$
这一性质在工程和可靠性领域有重要应用。
四、对比其他分布
| 分布类型 | 数学期望 | 方差 |
|----------------|----------|------------|
| 指数分布 | $frac{1}{lambda}$ | $frac{1}{lambda^2}$ |
| 均匀分布 | $frac{a+b}{2}$ | $frac{（b-a）^2}{12}$ |
| 泊松分布 | $p$ | $p$|
| 正态分布 | $mu$ | $sigma^2$ |
综上，指数分布的数学期望为 $frac{1}{lambda}$，这一结论通过积分计算和分部积分法得到验证。
