如何用方差来算数学期望
2025-05-18 13:16:55
墨香传道
已认证
已认证墨香传道为您分享以下优质知识
方差的定义和数学期望的关系可以通过以下公式和解释来说明：
一、方差的定义
对于离散型随机变量 $X$，其方差 $D（X）$ 定义为：
$$D(X) = frac{1}{n} sum_{i=1}^n (x_i - bar{x})^2$$
其中 $bar{x}$ 是 $X$ 的数学期望，即：
$$bar{x} = E(X) = frac{1}{n} sum_{i=1}^n x_i$$
二、方差的另一种表达式
方差也可以通过以下公式计算：
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$
其中 $E（X^2）$ 是 $X^2$ 的数学期望。
证明过程：
展开平方项 ：
$$D(X) = frac{1}{n} sum_{i=1}^n (x_i - bar{x})^2 = frac{1}{n} sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2x_ibar{x} + bar{x}^2)$$
分离求和：
$$D(X) = frac{1}{n} left( sum_{i=1}^n x_i^2 - 2bar{x} sum_{i=1}^n x_i + sum_{i=1}^n bar{x}^2 right)$$
简化求和
- $sum_{i=1}^n x_i = nbar{x}$，$sum_{i=1}^n bar{x}^2 = nbar{x}^2$：
$$D(X) = frac{1}{n} left( sum_{i=1}^n x_i^2 - 2nbar{x}^2 + nbar{x}^2 right) = frac{1}{n} left( sum_{i=1}^n x_i^2 - nbar{x}^2 right)$$
定义 $E（X^2）$：
$$E(X^2) = frac{1}{n} sum_{i=1}^n x_i^2$$
因此：
$$D(X) = E(X^2) - bar{x}^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$$
三、应用示例
以掷骰子为例：
随机变量 $X$ 取值为 $1, 2, 3, 4, 5, 6$，概率均为 $frac{1}{6}$。
计算 $E（X）$：
$$E(X) = frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = 3.5$$
计算 $E（X^2）$：
$$E(X^2) = frac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) = frac{1}{6}(91) = 15.1667$$
计算方差：
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 15.1667 - (3.5)^2 = 15.1667 - 12.25 = 2.9167$$
四、意义与性质
数学期望$E（X）$ 反映数据的平均水平，是预测和决策的依据。
方差$D（X）$ 衡量数据的分散程度，方差越小，数据越集中。
方差公式 $D（X） = E（X^2） - [E（X）]^2$ 展示了随机变量平方的期望与均值的平方差，是概率论中的重要性质。
通过以上公式和推导，可以清晰地看到方差与数学期望的内在联系。
