如何判断数学期望
2025-05-19 06:02:39
风吹过的记忆
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判断一个随机变量是否存在数学期望，可以通过以下两种主要方法：
一、定义法（基于概率分布计算）
离散型随机变量
若随机变量$X$的取值为$x_1, x_2, dots, x_n$，对应的概率为$p_1, p_2, dots, p_n$，则数学期望$E（X）$定义为：
$$
E(X) = sum_{i=1}^n x_i p_i
$$
若上述求和收敛（即概率之和为1且各项乘积有限），则数学期望存在。
连续型随机变量
若$X$的取值范围为$（a, b）$，概率密度函数为$f（x）$，则数学期望为：
$$
E(X) = int_a^b x f(x) , dx
$$
若该积分收敛，则数学期望存在。
二、收敛性判别法（针对连续型随机变量）
积分收敛性
对于连续型随机变量，需判断积分$int_a^b x f（x） , dx$是否收敛。若积分值有限，则数学期望存在；否则不存在。
柯西准则
若对于任意$epsilon >
0$，存在$M >
0$，使得当区间长度$[a, b] subset [c, d]$且$（d - c） < M$时，积分$int_c^d x f（x） , dx$的绝对值小于$epsilon$，则积分收敛，数学期望存在。
三、注意事项
离散型随机变量的特殊情形
若随机变量取值无限（如几何分布、泊松分布等），需验证求和是否收敛。例如几何分布的数学期望为$frac{1}{p}$，收敛条件是$p >
0$。
连续型随机变量的补充说明
某些函数（如$e^{-x^2}$）的积分可能无法用初等函数表示，但可通过数值方法或极限定理判断收敛性。
四、示例
离散型示例：
掷骰子，$X$表示点数，概率分布为$P（X=i） = frac{1}{6}$，则：
$$
E(X) = sum_{i=1}^6 i cdot frac{1}{6} = 3.5
$$
数学期望存在且为3.5。
连续型示例：标准正态分布$N（0,1）$，概率密度函数为$phi（x） = frac{1}{sqrt{2pi}} e^{-x^2/2}$，其数学期望为0，通过积分收敛性验证可知存在。
通过上述方法，可系统判断随机变量的数学期望是否存在。
