一、基本概念

定义

设角$alpha$终边上一点$P（x,y）$，$r=sqrt{x^2+y^2}$，则$sinalpha=frac{y}{r}$，$cosalpha=frac{x}{r}$，$tanalpha=frac{y}{x}$（$xneq0$）。

三角函数值正负

- 一、二象限：$sin$、$tan$为正；

- 三、四象限：$cos$、$tan$为正。

特殊角三角函数值

| 角度 | $sin$ | $cos$ | $tan$ |

|------|--------|--------|--------|

| $0$ | $0$ | $1$ | $0$ |

| $frac{pi}{6}$ | $frac{1}{2}$ | $frac{sqrt{3}}{2}$ | $frac{sqrt{3}}{3}$ |

| $frac{pi}{4}$ | $frac{sqrt{2}}{2}$ | $frac{sqrt{2}}{2}$ | $1$ |

| $frac{pi}{3}$ | $frac{sqrt{3}}{2}$ | $frac{1}{2}$ | $sqrt{3}$ |

| $frac{pi}{2}$ | $1$ | $0$ | 不存在 |

二、公式与性质

诱导公式

- 形式：$sin（pipmalpha）=pmsinalpha$，$cos（pipmalpha）=-cosalpha$，$tan（pipmalpha）=pmtanalpha$等。

- 记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

周期性与对称性

- 正弦、余弦周期为$2pi$，正切周期为$pi$；

- 对称轴：$x = kpi+frac{pi}{2}$（正切函数）。

和差公式

- $sin（Apm B）=sin Acos Bpmcos Asin B$，

- $cos（Apm B）=cos Acos Bmpsin Asin B$。

三、典型题型解析

化简求值

例：化简$sin（75^circ）=sin（45^circ+30^circ）$

解：$sin（45^circ+30^circ）=sin45^circcos30^circ+cos45^circsin30^circ=frac{sqrt{2}}{2}cdotfrac{sqrt{3}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}cdotfrac{1}{2}=frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}$。

图像与性质应用

例：判断函数$y=sin（2x-frac{pi}{3}）$的单调区间

解：令$2kpi-frac{pi}{2}leq2x-frac{pi}{3}leq2kpi+frac{pi}{2}$，解得$kpi-frac{pi}{12}leq xleq kpi+frac{5pi}{12}$，故单调递增区间为$[kpi-frac{pi}{12},kpi+frac{5pi}{12}]$。

四、复习建议

1. 熟记特殊角值及诱导公式，通过“奇变偶不变，符号看象限”快速判断函数值；

2. 掌握三角函数图像的平移、伸缩变换规律；

3. 多做综合应用题，注意化简步骤的简洁性。

以上内容覆盖体育单招中三角函数的核心要点，建议结合教材和真题进行系统训练。