弦长公式怎么考
2025-05-17 21:48:33
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关于弦长公式的考试要求，主要涉及直线与圆锥曲线相交时弦长的计算，具体分为以下几种情况：
一、直线与圆锥曲线相交弦长公式
通用弦长公式
若直线方程为 $y = kx + b$，与圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）联立后，弦长公式为：
$$|AB| = sqrt{1 + k^2} cdot sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}$$
其中 $（x_1, y_1）$ 和 $（x_2, y_2）$ 是直线与曲线的交点坐标。
抛物线焦点弦公式
若直线过抛物线焦点，弦长可转化为到准线的距离，公式为：
$$|AB| = x_1 + x_2 + p quad text{（抛物线方程为 } y^2 = 4px text{）}$$
但此公式仅适用于过焦点的直线。
二、几何方法（辅助理解）
垂径定理
通过圆心作弦的垂线，利用勾股定理计算弦长：
$$|AB| = 2sqrt{r^2 - d^2}$$
其中 $d$ 是圆心到直线的距离，$r$ 是圆的半径。
三角函数法
已知圆心角 $theta$，弦长公式为：
$$|AB| = 2rsinleft(frac{theta}{2}right)$$
适用于已知圆心角的情况。
三、注意事项
联立直线与圆锥曲线方程时，需注意判别式 $Delta$ 的取值范围，避免出现虚数解。
圆的弦长公式需结合几何性质（如垂径定理）使用，避免直接套用通用公式。
抛物线焦点弦公式仅适用于过焦点的直线，其他情况需回归通用公式。
四、典型题型示例
例题：
求圆 $（x-4）^2 + y^2 = 16$ 被直线 $y = sqrt{3}x$ 截得的弦长。 解法：
1. 联立方程：
$$begin{cases} (x-4)^2 + y^2 = 16 y = sqrt{3}x end{cases}$$
得到 $25x^2 - 50x - 119 = 0$，解得 $x_1 = 0$，$x_2 = frac{119}{25}$。2. 代入弦长公式：
$$|AB| = sqrt{1 + (sqrt{3})^2} cdot sqrt{left(frac{119}{25}right)^2 - 4 cdot 0} = 4sqrt{3}$$
结果为 $4sqrt{3}$。
通过以上方法和注意事项，可系统掌握弦长公式的应用。
