初中等比数列如何求和
2025-05-07 22:56:52
孙老师
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初中阶段学习等比数列求和主要涉及以下两种方法：
一、公式法（适用于公比$q≠1$的情况）
等比数列前$n$项和公式为：
$$
S_n = frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}
$$
其中：
$a_1$为首项；
$q$为公比；
$n$为项数。
推导过程（供理解）：
1. 设$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + cdots + a_1q^{n-1}$；
2. 乘以公比$q$得：$qS_n = a_1q + a_1q^2 + cdots + a_1q^n$；
3. 两式相减：$S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n$，即$S_n（1 - q） = a_1（1 - q^n）$；
4. 整理得：$S_n = frac{a_1（1 - q^n）}{1 - q}$。
特殊说明：
当$q = 1$时，数列为常数列，$S_n = na_1$。
二、错位相减法（适用于公比$q≠1$的情况）
通过构造等比数列与原数列的差值来推导求和公式。
步骤：
1. 设$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + cdots + a_1q^{n-1}$；
2. 乘以公比$q$得：$qS_n = a_1q + a_1q^2 + cdots + a_1q^n$；
3. 相减：$S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n$，即$S_n（1 - q） = a_1（1 - q^n）$；
4. 整理得：$S_n = frac{a_1（1 - q^n）}{1 - q}$。
三、性质辅助（可选）
通项公式：
$a_n = a_1q^{n-1}$，用于快速计算任意项；
性质：
若$m+n=p+q$，则$a_ma_n = a_pa_q$；
极限情况：
当$|q|
