成人高考数学中向量的学习需要掌握以下核心内容，并通过典型题型进行练习：

一、向量坐标表示

基底与坐标

在平面直角坐标系中，以与x、y轴方向相同的单位向量$mathbf{e_1}$、$mathbf{e_2}$为基底，任意向量$mathbf{a}$可表示为$mathbf{a} = （a_1, a_2）$，其中$（a_1, a_2）$是向量在x、y轴上的投影。

坐标运算

- 加法：

$mathbf{a} + mathbf{b} = （a_1 + b_1, a_2 + b_2）$

- 减法：$mathbf{a} - mathbf{b} = （a_1 - b_1, a_2 - b_2）$

- 数乘：$lambdamathbf{a} = （lambda a_1, lambda a_2）$

- 数量积：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2$。

二、向量运算的应用

几何意义

- 向量加法遵循三角形法则或平行四边形法则，减法需借助几何图形计算。

- 数乘改变向量长度（$lambda >

0$伸长，$lambda < 0$反向）。

垂直与平行条件

- 两向量垂直：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$

- 两向量平行：$a_1b_2 - a_2b_1 = 0$。

三、重要公式与定理

长度与距离

- 向量长度：$|mathbf{a}| = sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

- 两点间距离：$d = sqrt{（x_2 - x_1）^2 + （y_2 - y_1）^2}$。

中点与平移公式

- 中点坐标：$Mleft（frac{x_1 + x_2}{2}, frac{y_1 + y_2}{2}right）$

- 平移公式：若$mathbf{a} = （x_1, y_1）$，平移向量$mathbf{b} = （h, k）$，则平移后坐标为$（x_1 + h, y_1 + k）$。

四、典型题型练习

坐标运算类

已知$mathbf{a} = （1, 2）$，$mathbf{b} = （3, -1）$，求$mathbf{a} + mathbf{b}$、$mathbf{a} cdot mathbf{b}$及$|mathbf{a}|$。 *答案*：$mathbf{a} + mathbf{b} = （4, 1）$，$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 5$，$|mathbf{a}| = sqrt{5}$。

几何应用类

已知$A（1, 2）$，$B（4, 6）$，求$overrightarrow{AB}$的坐标表示及$AB$的长度。 *答案*：$overrightarrow{AB} = （3, 4）$，$|overrightarrow{AB}| = 5$。

五、学习建议

理解原理：

向量运算需结合几何意义理解，避免仅依赖公式计算。

多做练习：

通过典型题型巩固坐标运算和几何应用，尤其是向量垂直和平行的判断。

错题整理：

记录易错点（如向量方向判断），定期复习。

通过以上内容系统学习，并结合练习题巩固，可有效提升向量部分的解题能力。